Cours pour la 2eme Secondaire sur le cône de révolution.
Cône de révolution :
Définition : Un cône de révolution est un solide généré par un triangle rectangle lorsque celui-ci effectue une rotation autour d’un axe qui est un des côtés de l’angle droit de ce triangle.
La base d’un cône de révolution est un disque.
La hauteur du cône est le côté du triangle qui sert d’axe de rotation : elle joint le centre de la base avec le sommet du cône.
Exemple : Le cône ci-contre :
– a pour base le disque de centre A et de rayon AC.
– a pour sommet le point D.
– est obtenu par rotation du triangle ADC rectangle en A autour de l’axe (AD).
– a pour hauteur [AD].
Perspective cavalière :
Pour représenter un cône en perspective cavalière, je représente un cône :
① En traçant en vraies grandeurs le triangle qui génère le cône.
② En traçant en pointillés ce qui n’est pas visible.
Remarque : Le tracé de la base peut ne pas être tout à fait circulaire (une ellipse).
Exemple : Trace la perspective cavalière du cône de révolution dont la base est de rayon 5 cm et de hauteur 4 cm.
① Je trace un triangle ACD rectangle en A avec AC = 5 cm (rayon de la base) et AD = 4 cm (hauteur). Les segments [AC] et [AD] sont en pointillés.
② Je trace l’ellipse correspond à la base, de centre A et passant par C. L’arc de derrière est en pointillés.
Patron d’un cône de révolution :
Pour tracer le patron d’un cône de rayon 5 cm et de hauteur 6 cm :
① Je trace la base : disque de rayon AB = 5 cm.
Puis je calcule le périmètre de la base.
P = 2πr=2π×5=10π
② Après avoir tracé la base, je dois tracer la partie haute du cône, le «chapeau » en quelque sorte. Il a la forme d’un cercle auquel on a « retiré » une portion.
Pour tracer ce cercle, je dois connaitre son rayon qui correspond à la longueur SB :
▷ Je représente le triangle rectangle générant le cône. Le rayon cherché est la longueur de son hypoténuse. Avec le théorème de Pythagore, on trouve que SB :
SB^2=AS^2+AB^2=6^2+5^2=36+25=61. On a donc SB=√61≈7,81 cm.
③ Je dois ensuite chercher la valeur de l’angle α au centre qui va nous permettre de garder une portion du cercle. Pour ce faire, j’utilise la proportionnalité :
Pour un rayon de 7,81 cm, le périmètre du cercle entier (360°) est égal à : 2π×7,81≈49,07 cm.
Longueur du secteur de disque 49,07 10π
Angle au centre 360° α
