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Développer et réduire une expression littérala 3eme Secondaire
- Simplifier une expression littérale sans parenthèses.
- Développer une expression littérale avec des parenthèses avec la distributivité.
- Questions de brevet.
- Pour aller plus loin.
Prérequis :
- Une expression littérale est une suite d’un ou plusieurs calculs contenant au moins une lettre.
- Règles d’écriture:
On peut supprimer le signe lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse :
Cas particulier :
Notation : à ne pas confondre avec : si
Simplifier une expression littérale sans parenthèses.
Méthode pour simplifier une expression littérale sans parenthèses
Etape ① : je simplifie les multiplications :
Multiplier plusieurs facteurs peut se faire dans n’importe quel ordre :
Exemples : 3x×5=3×x×5=3×5×x=15×x=15x
3x×2x=3×x×2×x=3×2×x×x=6〖×x〗^2=6x^2
2a×5b=2×a×5×b=2×5×a×b=10×a×b=10ab
Etape ② : je simplifie si possible les additions / soustractions :
On peut ajouter ou soustraire les termes qui ont la même partie littérale : les x ensemble, les a ensemble, les x^2 ensemble, … On dit que l’on réduit.
Simplifier et réduire si possible les expressions suivantes :
Développer une expression littérale avec des parenthèses avec la distributivité.
Méthode pour développer une expression littérale avec la simple distributivité.
Appliquer la distributivité, ou développer, c’est transformer un produit en une addition ou une soustraction.
simple distributivité : k×(a+b)=k×a + k×b et k×(a-b)=k×a – k×b
Etape ① : je repère un cas de simple distributivité, de la forme :
k×(a+b) ; k(a+b) ; (a+b)×k ; k×(a-b) ; k(a-b) ; (a-b)×k
Etape ② : je distribue le facteur k dans chacun des termes de la parenthèse.
Je peux illustrer cette étape par des flèches.
Etape ③ : je simplifie cette expression littérale sans parenthèses, en effectuant les multiplications puis en réduisant si possible.
Exemples :
① je repère 4×(t+5) (4u+7)×(-2) 4x+2x×(5x-3)
② je distribue = 4×t+4×5 =4u×(-2)+7×(-2) =4x+2x×5x-2x×3
③ je simplifie =4t+20 =-8u+(-14)
=-8u-14 =4x+10x^2-6x
=-2x+10x^2
Colorie la/les expressions où tu repères une simple distributivité :
5x+(2x+3) 5×t-2 3×(a-7) (2y-6)-4
4z(2z+8) 5×(3b×2) (5c-3)×6 (-3)×(x+7)
Exprime l’aire du rectangle ABCD sous la forme d’un produit avec des parenthèses :
Exprime l’aire de ABCD comme une somme de deux aires :
Compare les deux expressions obtenues :
Développe puis simplifie les expressions suivantes :
Méthode pour développer une expression littérale avec la double distributivité.
A partir du rectangle ci-contre, complète :
Développe et réduis les expressions suivantes grâce à la double distributivité :
Méthode pour supprimer des parenthèses précédées d’un signe.
Cas ① : Des parenthèses précédées d’un « + » ou au début d’une expression, sans distributivité, peuvent être supprimées.
Exemple : (4x+3)+(x-5)=4x+3+x-5=5x-2
Cas ② : Quand des parenthèses sont précédées d’un « – », on peut supprimer les parenthèses et le symbole « – » en changeant les signes des termes à l’intérieur des parenthèses.
Exemple : 4y-(-5+y)=4y+5-y=3y+5
Cas ③ : Quand une distributivité (simple ou double) est précédée d’un « – », on effectue d’abord la distributivité en conservant les parenthèses, puis on applique la règle de suppression des parenthèses précédées d’un « – ».
Exemples : 4x-(x-3)×5 =4x-(5×x-5×3)
=4x-(5x-15)
=4x-5x+15
=-x+15
6x^2-(x-3)(4x-1) =6x^2-[x×4x+x×(-1)+(-3)×4x+(-3)×(-1)]
=6x^2-[4x^2-x-12x+3]
=6x^2-[4x^2-13x+3]
=6x^2-4x^2+13x-3
=2x^2+13x-3
Supprime les parenthèses et réduis les expressions suivantes :
Pour chaque expression, identifie-la ou les méthode(s) permettant de supprimer les parenthèses en indiquant le numéro :
Méthodes :
① parenthèses « inutiles », à enlever
② parenthèses précédées d’un «-»
→ changement des signes
③ simple distributivité
④ double distributivité A=(4x-5)-(3-7x)
B=(5x+1)+ (2-3x)
C=(2x-9)(x+7)
D=5x-3(2x+5)
E=(x-3)^2+(5x+4)
F=2x(x-5)-(2x-3)×4
Développe et réduis chacune des expressions de l’exercice précédent :
Questions de brevet.
1. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
« Pour tout nombre x, l’égalité suivante est vraie : (x+8)(2x-1) = 2x^2 -(8-15x). »
2. Voici deux programmes de calculs :
a. Vérifier que si on choisit 5 comme nombre de départ,
• le résultat du programme 1 vaut 16 ;
• le résultat du programme 2 vaut 28.
On appelle A(x) le résultat du programme 1 en fonction du nombre x choisi au départ, et B(x) le résultat du programme 2 en fonction du nombre x choisi au départ.
b. Exprimer A(x) en fonction de x. ……
c. Exprimer B(x) en fonction de x ; développer et réduire l’expression.
d. Montrer que B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3).
Pour aller plus loin.
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Séquence complète
Exercices type Brevet
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