Petite division avec les éprouvettes - Algèbre - Montessori - Atelier 2 : 3eme, 4eme, 5eme Primaire

Atelier Montessori #2 – Algèbre – La petite division avec les éprouvettes

Âge : 6 ans et +

Objectif direct :

Travailler la division avec des grands nombres

Matériel :

7 porte-éprouvettes : 3 blancs pour 1, 10 et 100 ; 3 gris pour 1 000, 10 000 et 100 000 et enfin 1 noir pour 1 000 000.

10 mini-éprouvettes sur chaque support contenant chacune 10 perles aux couleurs vertes, bleues et rouges habituelles. Attention : la taille des perles doit être telle que 10 perles remplissent juste l’éprouvette.
7 petits récipients de la largeur des porte-éprouvettes et, en ce qui concerne la couleur :

– 3 blancs à l’extérieur dont l’un avec l’intérieur vert, le 2e bleu et le 3e rouge,

– 3 gris à l’extérieur dont l’un avec l’intérieur vert, le 2e bleu et le 3e rouge,

– 1 noir à l’extérieur et vert à l’intérieur.

3 tables perforées (verte, bleue, rouge). Les quilles et les perles qui vont avec.
Un stylo bille 4 couleurs.

Vidéo explicative :

©Ecole Vivante

Langage : quotient, dividende, diviseur, reste.

Présentation :

Etape 1

Il s’agit de faire la division distributive avec opération horizontale.

Pour la 1ère présentation, nous vous conseillons de commencer par une division assez simple (ex : 7491 : 3 =).

Partagez devant l’enfant et inscrivez le quotient au fur et à mesure sur une feuille, pour qu’il s’habitue à distribuer et à lire le résultat sur la table perforée (il compte ce que reçoit une quille).
Ecrivez l’opération horizontalement en couleurs hiérarchiques : 7491 : 3 =

L’enfant la lit.

Formez le dividende dans les bols à partir des porte-éprouvettes appropriés (7 perles vertes du porte-éprouvettes des 1000, 4 perles rouges de celui des 100, 9 perles bleues de celui des 10 et 1 perle verte de celui des unités) et conservez les porte-éprouvettes devant vous au-delà de la table perforée.

Comme il n’y a qu’1 chiffre au diviseur, seule la table verte est utilisée.

Posez 3 quilles vertes pour représenter le diviseur.
Descendez le bol des 1000 en-dessous de la table perforée.
Distribuez les 7 perles équitablement de gauche à droite.

A la fin du partage, lisez avec l’enfant le résultat (ce que reçoit une quille).

Ecrivez le résultat intermédiaire : 7491 : 3 = 2

Retirez toutes les perles “usées” (déjà partagées) de la table perforée et remettez-les dans l’éprouvette.
Pour continuer à partager, changez la dernière perle de 1000 en 10 perles rouges de 100 (c’est facile et rapide car il suffit de vider une éprouvette pleine dans le petit bol).
Retournez le bol des 1000 et descendez celui des 100.
Distribuez à chaque quille, de gauche à droite, les 14 perles rouges et complétez le résultat avec le 4 des centaines : 7491 : 3 = 24
Rangez de nouveau toutes les perles “usées” de la table.
Faites remarquer à l’enfant qu’il reste 2 perles rouges qu’on ne peut pas partager.
Faites le change des 2 perles rouges contre 20 perles bleues des dizaines.
Distribuez, lisez et complétez le résultat avec le 9 des dizaines : 7491 : 3 = 249
Rangez les perles “usées” de la table.
Il reste 2 perles bleues que vous échangez méthodiquement, une par une, contre une éprouvette complète de 10 perles vertes d’unités chacune.
Distribuez les 21 perles vertes aux 3 quilles.
Lisez et complétez le résultat avec le 7 des unités.
Vous obtenez le résultat final de la division : 7491 : 3 = 2497

Nous conseillons vivement à l’enfant de faire une dizaine d’opérations de ce type, une par jour, avec de grands dividendes, jusqu’aux millions, c’est gratifiant pour lui.

Le diviseur reste à 1 seul chiffre pour le moment.

N’oubliez pas d’écrire le reste quand il y en a.

Puis passez à l’étape 2 lorsque l’enfant est à l’aise avec la manipulation des perles et des éprouvettes, et avec l’écriture du résultat.

Etape 2

Ce qui change, c’est le fait que vous allez maintenant poser l’opération verticalement et donc faire un pas de plus dans la technique opératoire.

Choisissez une opération où il n’y aura pas de 0 au quotient (ex : 21261 : 6 =).
Ecrivez le dividende et laissez l’enfant le former dans les petits bols avec les perles des éprouvettes.
Aidez-le à analyser : “Combien de dizaines de mille ? Combien de 1000, etc.”

Puis écrivez le diviseur. L’enfant pose les quilles qui conviennent sur la table perforée verte. Montrez-lui alors que l’on peut aussi poser une division ainsi :

Ecartez bien les chiffres du dividende pour que les colonnes ne se télescopent pas au cours de l’opération et respectez bien les couleurs hiérarchiques.
Puis entamez un petit dialogue avec lui en pointant le premier 2 du dividende : “Penses-tu que l’on peut distribuer 2 dizaines de 1000 en 6 ?

– Non.

– Alors on change.” Laissez l’enfant faire le change avec les éprouvettes et montrez qu’on a maintenant 21 milliers à distribuer en 6.

Dites : “Regarde, le 2 devient vert de rage !” et vous repassez le 2 en vert. L’enfant distribue les perles. Il obtient le résultat 3 et un reste de 3.
Montrez-lui où inscrire le résultat et le reste.
Rangez les perles distribuées dans les éprouvettes. Demandez à l’enfant s’il est possible de distribuer les 3 perles de 1000 qui restent.
Non ?
Alors on change une perle verte des mille contre 10 perles rouges de 100.
L’enfant fait le change des 3 perles de 1000 avec les éprouvettes. Il en a maintenant 32.
Dites-lui : “Le 3 devient rouge de colère !” Jouez sur ces transformations : l’enfant adorera cela et rira de bon cœur. C’est pour lui à la fois un point d’intérêt et un moyen mnémotechnique.
Passez le 3 en rouge sur l’opération.
Montrez-lui sur l’opération que le 2 rouge descend à côté du 3.
L’enfant distribue les perles et vous donne le résultat 5 et le reste 2.
Ainsi de suite jusqu’à la fin.
Bien entendu, vous ne vous occupez pas de la décimale pour le moment : il reste 3 et vous faites constater à l’enfant simplement qu’on ne peut pas diviser 3 unités en 6. L’enfant va s’habituer petit à petit à noter le quotient au fur et à mesure et les détails de l’opération. Il est important qu’il note les 0 s’il ne reste rien lors d’une opération intermédiaire ou s’il y a un 0 au quotient, comme sur cet exemple :

Etape 3

Avec les étapes 1 et 2, l’enfant a bien vu la division distributive « J’ai 12 bottes de foin à partager pour 2 chevaux. Combien cela fait-il de bottes pour chacun ? ».

Il s’agit maintenant d’aborder la division de contenance « J’ai 48 euros et je veux acheter des livres à 8 euros.

Combien vais-je pouvoir acheter de livres ? » Ou combien de fois y a-t-il 8 euros dans 48 euros ?

Pour faire comprendre ce nouveau concept à l’enfant, prenez 30 perles dorées.
Avec ces 30 perles, combien puis-je faire de groupes de 6 ?
L’enfant fait 5 groupes.
Donc dans 30, il y a combien de fois 6 ?

C’est la dernière étape pour le passage à l’abstraction.

Ecrivez une division en ligne (ex : 6147 : 4 =). L’enfant forme le dividende et place le diviseur sur la table perforée verte. Vous posez l’opération verticalement et demandez combien de groupes de 4 sont contenus dans 6 ?
L’enfant fait la distribution et répond “1”.
En même temps que vous écrivez 1 au résultat, vous dites “1 fois 4 = 4”.
Ecrivez – 4 sous le 6 du dividende, en précisant que c’est ce que vous venez de partager, et vous faites la soustraction en disant “6 – 4 = 2”.
Notez le 2 en vert.
Vérifiez le reste dans le petit bol avec l’enfant : c’est bien 2.
Vous pouvez ajouter “de mille”.
Rangez les perles de la table et vous faites le change en n’oubliant jamais de formuler :
Je change 1 perle de 1000 en 10 perles de 100 etc…
Le 2 rougit de colère. Vous le repassez en rouge et vous descendez le 1 à côté de lui etc… jusqu’à la fin.
Vous obtenez le résultat ci-contre.
L’écriture des étapes intermédiaires est importante car elle met en valeur la multiplication dans la division. En effet quand on partage des quantités, le nombre de groupes trouvés correspond à nos tables de multiplications.

Lorsque l’enfant est parfaitement à l’aise, montrez-lui qu’on peut même se passer de noter les soustractions.

Dites-lui « si nous gardons l’exemple précédent, dans 6, combien de fois il y a 4 ?

Réponse : 1

Vous écrivez 1 en vert au quotient.

Puis, 1 fois 4 = 4 ; 6 – 4 = 2.

Vous écrivez 2 en vert sous le 6.

Dans 2 combien de fois 4 ?

Réponse : Aucune, donc on change.

Vous mettez le 2 en rouge (il devient 20 centaines) etc…
Conservez les couleurs des catégories encore longtemps : elles constituent un excellent contrôle de l’erreur. En effet, si l’alternance ou la position des couleurs ne sont pas bonnes dans le quotient final, c’est soit que l’enfant a omis de noter un 0, soit qu’il a oublié une opération intermédiaire. Les couleurs permettent à l’enfant de réfléchir à la valeur du chiffre écrit. Cette phase semble un peu compliquée sur le papier, mais il faut tenir compte du fait qu’à ce stade, l’enfant maîtrise la multiplication et la soustraction, y compris de tête puisqu’il est également bien avancé dans leur mémorisation.

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