Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore - Séquence complète : 3eme Secondaire

Séquence complète pour la 3eme Secondaire sur la réciproque et contraposée du théorème de Pythagore.

Cours pour la 3eme Secondaire sur la réciproque et contraposée du théorème de Pythagore.

Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore nous permet de savoir si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés.
Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit, dans le triangle ABC : SI BC2 = AB2 + AC2
ALORS ABC est un triangle rectangle en A.

Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB = 18 cm, BC = 30 cm et AC = 24 cm.
→ question type : quelle la nature de ce triangle ?
Nous avons d’une part, BC^2 = 30^2 = 900
Et d’autre part, AC^2 + AB^2= 24^2 + 18^2 = 900
Or, S’il existe une égalité tel que BC2 = AC2 + AB2,
Alors l’égalité de Pythagore est respectée.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. [BC] est alors l’hypoténuse.

Exercices avec les corrigés pour la 3eme Secondaire sur la réciproque et contraposée du théorème de Pythagore.

Consignes pour ces exercices :

Quelle est la différence entre la contraposée et la réciproque du théorème de Pythagore ?

Lors d’une démonstration, l’implication du « si… alors… » évoque une condition (hypothétique) et le « donc » permet de déduire un résultat. Lorsque l’on utilise le théorème (la réciproque ou la contraposée) de Pythagore il faut être rigoureux dans la démonstration. Démontre que ce triangle est rectangle en utilisant les codes de la démonstration :

Voici deux triangles : le triangle DEF avec DE = 6 cm, EF = 8 cm, et DF = 10 cm et le triangle GHI avec GH = 2 cm, HI = 2 cm, et GI = 3 cm. Pour démontrer la nature de ces deux triangles, quel théorème utiliseras-tu : la réciproque ou la contraposée du théorème de Pythagore ?

Voici une figure à main levée d’un quadrilatère LOHT. Capucine dit que ce quadrilatère est un carré, mais Jérôme affirme que ce n’est pas le cas. Qui a raison ?

Entoure la bonne réponse.

Une danseuse de ballet s’entraine pour un concours à l’Opéra de Paris. Pour qu’une arabesque soit parfaite, il faut que les jambes forment un angle droit. La longueur des jambes (incluant les pieds en pointe) de la danseuse est de 1,2 mètres. Son entraineur prend la mesure entre ses deux pointes de pied et mesure 1,50 mètres.
1. L’angle formé par les deux jambes est-t-il droit ? (l’image schématique ci-contre n’est pas représentative).

Evaluation avec la correction pour la 3eme Secondaire sur la réciproque et contraposée du théorème de Pythagore.

Evaluation des compétences
Caractériser le triangle rectangle par l’égalité de Pythagore.
Rédiger une démonstration.

Consignes pour cette évaluation :

Toutes les réponses doivent être correctement justifiées et rédigées.

Énonce la réciproque du théorème de Pythagore. À quoi sert-elle et quelle est la différence avec la contraposée du théorème de Pythagore ?

Soit le triangle KLM tel que KL = 8, LM = 15 et KM = 17. Ce triangle est-il rectangle ?

Le triangle PRS ci-contre a pour mesures SR = 9, RP = 10
et SP = 11. Est-ce un triangle rectangle ?

Eliott et Maria veulent installer une étagère murale au-dessus de leur canapé mais comme ils habitent dans une vieille maison, ils préfèrent vérifier que leur mur est bien droit pour être sûrs que les objets ne tomberont pas une fois l’étagère installée. Voici un schéma des mesures de leur salon où le point R correspond au point de fixation de l’étagère. Aide-les à déterminer si le mur est bien droit (on postule que le sol est bien horizontal).

ABCE est un rectangle tel que AZ = 3 cm et ZB = 5 cm.

Voir les fiches