Reconnaître et utiliser les triangles semblables - avec Mon Pass Maths : 3eme Secondaire

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Reconnaître et utiliser les triangles semblables : 3eme Secondaire

Démontrer que deux triangles sont semblables.
Utiliser les propriétés des triangles semblables.
Questions de brevet.
Pour aller plus loin.

Prérequis :
▸ Deux triangles sont dits égaux ou isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même
longueur. Des triangles égaux sont superposables et leurs angles ont la même mesure.
▸ La somme des angles d’un triangle est 180°.
Un triangle isocèle a ses deux angles à la base égaux ; un triangle équilatéral a ses trois
angles égaux à 60°.

Démontrer que deux triangles sont semblables.

Méthode pour démontrer que deux triangles sont semblables
avec leurs angles.

Définition : Deux triangles sont dits semblables
si leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Exemple : ABC et DEF sont des triangles semblables.

Méthode : pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de prouver que seulement 2 angles d’un triangle sont égaux à 2 angles d’un autre triangle (avec la propriété de la somme des 3 angles égale à 180°, les troisièmes angles seront aussi égaux).

Exemple : On a : (GIH) ̂=(LJK) ̂ et (IGH) ̂=(LKJ) ̂.
→ Les triangles GHI et JKL ont deux paires d’angles deux à deux égaux, ce sont donc des triangles semblables et on déduit donc que (GHI) ̂=(JLK) ̂.

Dans chaque cas, détermine si les triangles sont semblables :

A partir des informations portées sur la figure suivante, prouve que les triangles ZIG et ZAG sont semblables.

Méthode pour démontrer que deux triangles sont semblables
avec la longueur de leurs côtés.

Propriété : Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles.

Etape ① : On repère les couples de côtés qui peuvent se correspondre (les plus petits côtés de chaque triangle ensemble, les plus grands, …).

Etape ② : On calcule chacun des trois quotients, en utilisant toujours le même triangle au numérateur.
→ si ces trois quotients sont égaux, les triangles sont semblables et le coefficient de proportionnalité correspond au coefficient d’agrandissement (> 1) ou réduction (< 1) entre les deux triangles.
Exemple : ABC et DEF sont deux triangles tels que : AB = 4 cm ; BC = 7 cm et AC = 5 cm ;
DE = 8 cm ; EF = 6,4 cm ; DF = 11,2 cm.
On identifie les côtés à associer :
Triangle ABC : AB = 4 cm ; BC = 7 cm et AC = 5 cm ;
Triangle DEF : DE = 8 cm ; EF = 6,4 cm ; DF = 11,2 cm.
On calcule : ((triangle DEF)/(triangle ABC)) EF/AB=(6,4)/4=1,6 ; DE/AC=8/5=1,6 ; DF/BC=(11,2)/7=1,6
→ ABC et DEF ont les longueurs de leurs côtés deux à deux proportionnelles (avec un coefficient de proportionnalité de 1,6). Ce sont donc des triangles semblables.

LEA et TOM sont deux triangles tels que : LE = 2 cm ; LA = 3 cm et EA = 4 cm ;
TO = 10 cm ; TM = 5 cm ; OM = 7,5 cm.

1. Complète le tableau ci-contre en indiquant les côtés avec les lettres, puis en précisant leurs longueurs :

2. Vérifie s’il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

3. Les triangles sont-ils semblables ?

Dans chaque cas, détermine si les deux triangles proposés sont semblables ; dans ce cas, précise le coefficient de proportionnalité.

SVT et GEO sont deux triangles tels que : SV = 12 cm ; ST = 8 cm et VT = 10 cm ;
GE = 6,4 cm ; GO = 8 cm et EO = 9,6 cm.

EPS et LCA sont deux triangles tels que : EP = 6 cm ;: 3eme Secondaire 7 cm et ES = 8 cm ;
LC = 16 cm ; CA = 17 cm et LA = 18 cm.

Méthode pour démontrer que deux triangles sont semblables
avec un angle et des longueurs.

Propriété : Deux triangles sont semblables s’ils ont un angle de même mesure compris entre 2 côtés aux longueurs proportionnelles.

Etape ① : On repère deux angles égaux.
Etape ② : On identifie les côtés des angles à associer (les plus petits côtés ensemble, et les plus grands ensemble).
Etape ③ : On calcule chacun des deux quotients, en utilisant toujours le même triangle au numérateur.

Exemple : – On a : (LMN) ̂=(RST) ̂=90°
(on identifie les côtés à associer)
– RS/MN=(7,2)/3=2,4 ; ST/LM=12/5=2,4
→ Les triangles LMN et RST ont un angle de même mesure compris entre 2 côtés aux longueurs proportionnelles, donc ils sont semblables.

On considère la figure ci-contre.
Les droites (AC) et (DE) se coupent en B ; on a :
AB = 5 cm ; BD = 4 cm ; BE = 2 cm et BC = 1,6 cm.
Les triangles ABD et BCE sont-ils semblables ?

On considère la figure ci-contre. Les triangles FGI et GHI sont-ils semblables ?

Utiliser les propriétés des triangles semblables.

Méthode pour utiliser les propriétés des triangles semblables.

Si deux triangles sont semblables…
① on repère les angles, sommets et côtés homologues (qui se correspondent).
② alors, on peut utiliser une des propriétés :
les angles homologues sont égaux ;
les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles ;
on a une relation d’agrandissement réduction d’un triangle à l’autre : les longueurs sont multipliées par un coefficient k, l’aire est multipliée par k².

Exemple : ABC et DEF sont des triangles semblables :
Les sommets homologues sont : B et E ; A et D ; C et F.
Les angles homologues sont B ̂ et E ̂ ; A ̂ et D ̂ ; C ̂ et F ̂.
Les côtés homologues sont : [AB] et [DE] ; [AC] et [DF] ; [BC] et [EF].
→ donc D ̂=A ̂=64°.
→ on a donc l’égalité de quotients : DE/AB=EF/BC=AC/DF
or EF/BC=3/5=0,6 donc DF=AC×0,6=5,5×0,6=3,3 cm
→ les longueurs entre ABC et DEF sont multipliées par 0,6 donc l’aire est multipliée par 0,6² :
〖Aire〗_DEF=〖Aire〗_ABC×0,6²=12×0,6²=4,32 cm².

Les triangles TRI et ANG sont semblables. Complète :
Le sommet homologue à R est le sommet …
L’angle homologue à T ̂ est …
L’homologue au côté [RI] est ……
On a l’égalité : RI/( … )=TR/( … )=( … )/( … )
LIT et BED sont semblables, [IT] et [ED] sont homologues ainsi que [LI] et [BD].
Donne les mesures des angles des triangles, précise leur nature.

AIR et FEU sont deux triangles semblables tels que : AI/FE=AR/EU=IR/FU .
Repère les sommets homologues et écris les égalités d’angles correspondantes.

TWO et SIX sont deux triangles semblables.
1. Détermine les longueurs SX et SI.

2. Détermine l’aire du triangle SIX.

Questions de brevet.

On considère la figure ci-contre dans laquelle :
• Les points F, G et H sont alignés
• (LH) et (FE) sont perpendiculaires à (FH) ;
• EF = 18 cm ; FG = 24 cm ; EG = 30 cm ;
GH = 38,4 cm
• (EGF) ̂= (LGH) ̂=37°.

a) Montrer que les triangles EGF et LGH sont semblables.

b) Parmi les propositions suivantes, quel est le coefficient d’agrandissement qui permet de passer du triangle EFG au triangle LHG ? Expliquer.
0,625 1,28 1,6 2,6

c) Quel est le périmètre du triangle LGH ?

Pour aller plus loin.

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